Plan de clases. 13 / 05 / 2021. Volumen de la esfera.

Mates: Vamos a darle tralla al volumen de la esfera, que es complicado de narices. Para ello os contaré una pequeña historieta de Arquímedes.

 El cálculo del volumen de la esfera fue uno de los descubrimientos que Arquímedes más estimaba de todos los muchísimos que hizo en su vida. Llegó a demostrar de un modo muy original que el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circular circunscrito a ella. Tanto le impresionó esto a él mismo que mandó que en su tumba se grabase esta figura en recuerdo de la mejor de sus ideas.

Vamos a ver cómo llegó hasta ahí. Arquímedes se imaginó una semiesfera y junto a ella un cilindro circular recto y un cono recto, ambos de base igual a un círculo máximo de la semiesfera. Algo así.

Arquímedes cortó las tres figuras por un plano paralelo a la base del cilindro y cono (el plano de rayas que corta a las tres figuras) y se preguntó cómo serían las secciones determinadas por este plano en cilindro, semiesfera y cono (en azul). Para que sea más fácil de entender, vamos a dar valores numéricos a estas figuras. Radio y altura van a coincidir en el valor 5. Las secciones están a 2 metros de altura, y por lo tanto a 3 del cénit.

En el cilindro está claro. La sección es igual que la base. Por lo tanto:

Sería 25 x 3,14 = 78,5 unidades cuadradas.

En cuanto a la esfera, hay que afinar un poco más. Tenemos que imaginarnos lo siguiente:

¡Tachaaaan! Aplicando pitágoras, sabemos que r = 4. Ya sólo queda aplicar la fórmula del área del círculo, y nos sale que:

16 x 3,14 = 50,24  unidades cuadradas.

El cono es un poco más complicado. Para calcular el radio de la sección del cono tenemos que tener en cuenta varios aspectos. Miremos el siguiente dibujo:

Sabemos todos estos números menos la "d" que aparece con una interrogación. Sin embargo todo cambia si también sabemos que los ángulos alfa (α) y beta (β) tienen 45º cada uno. Porque siempre que esto pasa en un triángulo... ¡Los catetos son iguales! Como sucede en una escuadra:

Por lo tanto la interrogación de la "d" es igual a 3. Ya solo queda operar:

3,14 x 9 = 28,26 unidades cuadradas.

Luego Arquímedes ordenó los datos:

Área de la sección de la semiesfera: 50,24

Área de la sección del cono: 28,26

Área de la sección del cilindro: 78,50

Guau. Es asombroso. Si sumamos la sección de la semiesfera a la sección del cono, obtenemos la sección del cilindro:

50,24 + 28,26 = 78,50

Esa es la relación entre las tres figuras. Y como es una constante, se puede aplicar al volumen:

Por lo tanto Arquímedes dedujo que el volumen de una semiesfera de radio "r" sumado al volumen de un cono de radio "r" sería igual a un cilindro de radio "r", siempre y cuando los tres tuvieran la misma altura. Maravilloso. Ahora volvamos al ejemplo de antes:

Calculamos el volumen del cilindro: 25 x 3,14 x 5 = 392,5

Calculamos el volumen del cono: (25 x 3,14 x 5) : 3 = 130,83

Ya lo que nos queda es súper fácil:

El volumen de la semiesfera sería igual a 392,5 - 130,83 = 261,67

Luego ya solo queda multiplicar por 2 para tener la esfera completa. El volumen sería igual a 523,34 unidades cúbicas.

Todo esto se resume en la siguiente fórmula:

Aquí van unos cuantos ejercicios:

Volúmenes

Plan de clases. 12 / 05 / 2021. Volúmenes de la Pirámide, el cono y el cilindro.

Matemáticas: Figuras tridimensionales. La pirámide y el cilindro.

La pirámide: Es una figura cuya base es un polígono regular. Cualquiera vale. De los vértices de la base surgen aristas que confluyen en un único vértice, el cénit de la pirámide.

En función de cómo sea la base, así definimos la pirámide. Si su base es un triángulo, pirámide triangular; si es un cuadrado, cuadrangular; si es un pentágono, pentagonal; y así sucesivamente.

El volumen de la pirámide es algo muy bonito. Para entenderlo vamos a ver el desarrollo lógico de la fórmula. Vamos a mirar este dibujo un rato:

Dado un prisma triangular, puede ser partido en tres pirámides exactamente iguales. De lo cual se deduce fácilmente que el volumen de la pirámide será 1/3 del volumen del prisma en el que estaba en un principio integrada. Así, la fórmula queda:

Siendo "Ab" área de la base, y "h" la altura de la pirámide.

El principio es aplicable a cualquier tipo de pirámide. Por ejemplo, una cuadrangular:

El volumen de la pirámide siempre será 1/3 del volumen del prisma en el que estaría integrada.

El cilindro. El cilindro es más fácil:

No os costará mucho deducir que el volumen de un cilindro va a ser... Sí, eso es: el área de la base por la altura. Por lo tanto se calcula el área del círculo de base y luego a multiplicar por la altura.

El cono. Seguimos tirando de deducción:

Un cono es como una pirámide, solo que tiene una sola cara curvada que se cierra sobre sí misma. "Es como una pirámide..."

Por lo tanto, su volumen es el área de la base multiplicado por su altura y luego dividida por tres.

Me queda por explicar el volumen de la esfera... Pero ese ya para mañana, que tiene tela.

Propuesta de ejercicios:

Volúmenes I

Plan de clases. 10 / 05 / 2021. Cálculo de volúmenes.

Hasta ahora hemos estado viendo el cálculo de superficies en figuras planas. Ahora toca el turno a los volúmenes.

El cubo. Un cubo no es otra cosa que un cuadrado desarrollado en tres dimensiones. Su volumen se calcula multiplicando alto, por ancho y por largo.

Ortoedro. Es un rectángulo desarrollado en tres dimensiones. El volumen también se saca multiplicando alto por ancho y por largo:

Y ahora, tirando de intuición... ¿Cómo averiguaríais el volumen de la figura 2?

Prismas: son cuerpos geométricos de varias caras (poliedros). Tienen siempre dos bases y una serie de caras. En función de cómo sea la base, tenemos prismas triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales... Su volumen es fácil de calcular. Primero se averigua el área de la base; y luego multplicamos por la altura.

Sabiendo esto, hoy vamos a hacer esta ficha:

Ficha de prismas

Y algunas más de volúmenes sencillos, ya hecha con anterioridad:

Volúmenes

Unidades de Volumen. 10 / 03 / 2021

Escalera de unidades de capacidad.

Hoy posiblemente profundizaremos en las unidades de volumen. La clásica escalera que aparece en la parte derecha. Funciona exactamente igual que la de metros, decímetros y centímetros; por tanto no hay mayor complicación al respecto.

Sin embargo lo que sí me interesa realmente es profundizar en las relaciones entre el litro y otras unidades de volumen.



Metro cúbico (m³)

Alumnos dentro de un metro cúbico.

El metro cúbico es una unidad de medida muy usada. Es un cuyas aristas miden un metro de longitud; y tiene una capacidad de 1.000 litros. Se utiliza para expresar la capacidad de piscinas, depósitos, tanques de líquido, etc.

Centímetro cúbico (cm³ o cc.)

Es un cubo cuyas aristas miden un centímetro. El clásico ejemplo de objeto que mide un centímetro cúbico es un dado.

El centímetro cúbico se utiliza, por ejemplo, para expresar la cilindrada de las motos y quads. Así, cuando hablamos de una moto de 125 cc, estamos diciendo que el volumen total de sus cilindros es de 125 centímetros cúbicos (125 daditos). Si es de 250, pues lo mismo. Y así sucesivamente. El centímetro cúbico se utiliza también para medir líquidos en pequeñas cantidades; por ejemplo, para inocular inyecciones. Solo que en lo que se refiere a las jeringas, la gente prefiere decir mililitro (ml).

Relación entre litro, decímetro cúbico, centímetro cúbico y mililitro.

Esto es un poco más complicado. Hay que saber que un litro tiene 1.000 centímetros cúbicos. Y que dentro de un decímetro cúbico caben 1.000 cm³ (1.000 daditos). En el dibujo de la derecha queda algo más claro.

Por último, una tabla con las equivalencias correspondientes:

1 litro.	1.000 cm³.
1 litro.	1.000 mililitros (ml).
1 litro.	100 centilitros (cl).
1 litro.	1 decímetro cúbico.
1 metro cúbico.	1.000 litros.
1 centímetro cúbico.	1 mililitro.

Embalse de Orellana. Capacidad: 808 hm³.

Hectómetro cúbico.

Lo más bestia que se utiliza habitualmente. Hay que imaginarse un cubo cuyas aristas miden 100 metros. Pues bien; un metro cúbico es todo el líquido que cabe en ese cubo gigante. Concretamente 1.000.000.000 de litros. Ó 1.000.000 de metros cúbicos. La capacidad de los embalses de agua se mide en hectómetros cúbicos.

Plan de clases. 06 / 04 / 2021

Matemáticas: repaso a todo lo visto acerca de unidades de medida (longitud, capacidad, masa y superficie). Fijaremos la fecha para el examen de dicha materia.

Longitud.

Test unidades de longitud.

Volumen

repaso volumen

repaso tiempo

Superficie

Problema: uno antiguo, ya hecho allá por octubre:

El ayuntamiento va a construir una pista de parkour cuadrada, de 20 x 20 metros.

Pregunta 1: ¿Cuántos metros cuadrados tendrá la pista?

El suelo va a estar cubierto con losas plásticas de caucho. Las losas serán de 50cm x 50cm (Ver foto). 

Pregunta 2: ¿Cuántas losas harán falta para cubrir la superficie de la pista de parkour?

Cada losa cuesta 8€. 

Pregunta 3: ¿Cuánto costarán las losas para la pista?

Lengua. Haremos escritura: la venganza de Okombo. También seguiremos ahondando en la sintaxis de la lengua española:

Busca el sujeto

complemento directo

Complemento directo e indirecto + repaso verbos

Repaso total a la sintaxis

Sociales: Seguiremos con Felipe II.

Plan de clases. 18 / 03 / 2021

Lengua: Corregiremos grupalmente las preguntas del examen que eran de respuesta cerrada (morfología, ortografía y preguntas de comprensión lectora).

Matemáticas: Fichas de repaso general para el puente de S. José. Las veremos en clase; y luego ya veremos si habrá que hacerlas en casa durante el puente:

Longitud

Volúmenes cúbicos

Calcular volumen de prismas en cm cúbicos.

Volúmenes cúbicos II

Volumen de cuerpos geométricos

Volúmenes cúbicos III

Asimismo os propongo que utilizando la herramienta de medición de Google maps me midáis la superficie, en metros cuadrados, de los siguientes lugares emblemáticos. Haciendo click en los enlaces accederéis directamente a ellos.

1.- Pirámide de Keops (El Cairo, Egipto)

2.- Taj Mahal. (Akra, India)

3.- Partenón de Atenas. (Atenas, Grecia)

4.- Pirámide de cristal del Louvre. (París, Francia)

5.- Monasterio de El Escorial (El de Felipe II, cerca de Madrid)

Sociales. Seguiremos explicando Felipe II.

Plástica. Echaré un ojo a los trabajos de Carlos V a caballo en Mühlberg; y a continuación veremos cuál es el siguiente dibujo a realizar, ya puntuable para la tercera evaluación.

Plan de clases. 5 / 03 / 2021

Matemáticas. Vamos a dar por zanjado el tema de proporcionalidad. Hoy quiero comenzar con las medidas: masa, volumen, capacidad, tiempo... Para abrir boca, unidades de medida.

Unidades de medida

Y problemas del libro (Tema 9)

Y acertijos:

Estás en una sala a oscuras con una vela, una estufa de leña y una lámpara de gas. Solo tienes una cerilla, así que ¿qué enciendes primero?

Soy un número. Ponme de lado y soy todo. Córtame por la mitad y no soy nada. ¿Qué soy?

Estás escapando de un laberinto, y tienes tres puertas delante. La puerta de la izquierda lleva a un ardiente infierno. La puerta del centro a un brutal asesino. Y la puerta de la derecha a un león que no ha comido en tres meses. ¿Qué puerta escoges?

Si tienes un reloj de arena de 7 minutos, y un reloj de arena de 11 minutos, ¿cómo puedes hervir un huevo en exactamente 15 minutos?

Lengua: Leeremos la biografía de Cervantes; de paso veremos qué es una biografía; hablaremos de biografías famosas; y luego seguiremos con Okombo. También ortografía:

Uso de la "b" y de la "v".

Sociales: Hemos terminado con Carlos I. Por lo tanto vamos a empezar con Hernán Cortés. O quizá cambiemos un poco a ciencias naturales. Ya veremos.

Calendario de los próximos exámenes.

Calendario de Exámenes: los próximos tres exámenes quedan fijados de la siguiente manera:

miércoles, 19 de mayo: examen de Lengua. Texto con preguntas de comprensión + análisis morfosintáctico + verbos + actividad de escritura + ortografía ("A  ver" y "haber")

Viernes, 21 de mayo: Examen de Sociales. Será del tipo desarrollo: yo os doy conceptos y vosotros los desarrolláis a partir de vuestros apuntes y de lo visto en clase. Por ejemplo, si apareciera "Natrón", tendrías que responder algo así:

Tipo de sal que los antiguos egipcios utilizaban en el proceso de la momificación.

Lunes 23 de mayo: Examen de Mates. Volumen de figuras tridimensionales. Entran el cubo, el ortoedro, la pirámide, el cilindro, el cono... 

Plan de clases. 18 / 05 / 2021. Mates.

Matemáticas: seguimos con el repaso a figuras tridimensionales. Solo que hoy van a ser compuestas. Primer reto del día: averiguar el volumen de ésta.

Luego esta otra:

Y luego también ésta:

Y esta última también. Pensad que estamos ante un ortoedro al que le hemos sacado de dentro un cilindro.

Plan de clases. 12 / 03 / 2021

Matemáticas. Explicación de los volúmenes (entrada de ayer). 

Problema:

• Calculad el volumen de un depósito de agua que tiene 3 metros de alto, 2 de ancho y 5 de profundidad. El resultado os saldrá en métros cúbicos (m³). Recordando que 1 m³ = a 1.000 litros, decidme cuántos litros de agua cabrían en dicho depósito.

Ejercicios de repaso de unidades de longitud.

1.- Conversión de unidades de longitud.

2.- Unidades de longitud II

Lengua. Sintaxis. Empezaremos con sujeto y predicado.

Sociales. Seguiremos con Hernán Cortés. Lo acabamos seguro; y luego ofreceré este kahoot que estuve preparando ayer por la tarde:

Kahoot Hernán Cortés.

No lo juguéis sin repasar antes el tema, ya que sacaréis una birria de puntuación.

Plástica. Terminaremos "Carlos V a caballo en Mühlberg".

Plan de clases. 21 / 05 / 2021. Probabilidad.

Sociales: examen del antiguo Egipto.

Lengua: escritura: el colegio misterioso. Antes de eso, teoría de la comunicación (sesión pendiente)

Matemáticas: Corregiremos el repaso a las figuras tridimensionales (volumen) y comenzaremos con probabilidad.

La probabilidad es una parte de las matemáticas que intenta determinar lo probable (o improbable) que un suceso pueda llegar a ser. Es lo que siempre os he dicho: las mates son una herramienta para predecir el futuro. Y en ese sentido, la probabilidad es uno de sus ejemplos más claros.

La probabilidad se mide en %. Así, cuando decimos que algo es probable al 100%, significa que seguro pasará.

Miremos las siguientes ruletas. Vamos a determinar la probabilidad de que nos toque cada color:

Escasa probabilidad.

Probabilidad de que te toque el gordo de Navidad (lotería).

Si compras un décimo, tendrías un 0,001% de probabilidades de que te tocara el gordo. Es decir, una posibilidad entre 100.000. O lo que es lo mismo: sería como tirar un dado con 100.000 caras y que saliera el número que tú quieres.


Probabilidad de que te caiga un rayo.

Es aún menor. En una tormenta, tienes una posibilidad entre 3.000.000 de que te caiga un rayo (esto es: 0,0003% de posibilidades). No obstante, las posibilidades aumentan en función del lugar en el que uno esté. De manera que cuando hay tormenta, mejor quedarse en casa.


Probabilidad de encontrar un trébol de 4 hojas en el primer vistazo.

Si estás en una pradera de tréboles, tienes una posibilidad entre 10.000 de encontrar un trébol de 4 hojas en el primer vistazo. O lo que es lo mismo: un 0,01% de probabilidades.

Calcular las probabilidades en porcentaje es muy sencillo. Vamos a probar con el trébol de 4 hojas:

Si hay 1 posibilidad entre 10.000 de encontar el trébol a la primera, 
Hay     x posibilidades entre 100.   

1 ---------- 10.000
x ---------- 100             


Y como ya sabéis, lo que hay que hacer es (1 x 100): 10.000 = 0,01% de posibilidades.

Fijaos en la relación:

1 ------ 100 = 1% de posibilidades.
1 ------ 1.000 = 0,1 % de posibilidades.
1 ------ 10.000 = 0,01% de posibilidades.
1 ------ 100.000 = 0,001% de posibilidades.